INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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INTEGRAL POR PARTES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS elisiofisica.blogspot.com - 1503 dias atrás


Continuação sobre o método de integração por partes: 


12ª) Integre a expressão
$$dv=e^{-2x}dx.$$
Integrando ambos os membros da expressão, temos

$$int dv=v=int e^{-2x}dx.$$
Para resolver a integral acima, chamaremos

$$u=-2x ightarrow du=-2dx ightarrow dx=frac{-du}{2}.$$
Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

$$int e^{-2x}dx=int e^{u}frac{(-du)}{2} =-frac{1}{2}int e^{u}du=-frac{1}{2}e^{u}.$$
Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

$$int e^{-2x}dx=-frac{1}{2} e^{-2x}.$$
Finalmente, o resultado da integral é dado por

$$v=int e^{-2x}dx=-frac{1}{2} e^{-2x}.$$

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
 



13ª) Usando o método de integração por partes, calcule:
$$int x{e}^{-2x}dx.$$- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-2x}dx.$$
- Achar v.

Integrando a expressão acima, temos

$$int dv=v=int e^{-2x}dx.$$
Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

$$int e^{-2x}dx,$$
(desenvolvido na 12ª questão), e achamos que

$$v=int e^{-2x}dx=-frac{1}{2} e^{-2x}.$$
- Achar u.

Fazer

u = x. - Achar du.

Derivando a expressão acima, temos
 du = dx.
De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$int udv=uv-int vdu + c.$$
Portanto,

$$int x{e}^{-2x}dx=-xfrac{e^{-2x}}{2} -int(-frac{e^{-2x}}{2} )dx+c.$$
Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$int(- frac{e^{-2x}}{2} )dx,$$
chamando

$$z=-2x ightarrow dz=-2dx ightarrow dx=-frac{dz}{2}.$$
Portanto,

$$int(- frac{e^{-2x}}{2} )dx=int (-frac{e^{z}}{2}) (-frac{dz}{2}) =frac{1}{4} int e^{z}dz=frac{1}{4} e^{z}.$$
Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$int(- frac{e^{-2x}}{2} )dx=frac{1}{4} e^{z} =frac{1}{4} e^{-2x},$$
e assim, o resultado da nossa integral é dado por

$$int x{e}^{-2x}dx=-xfrac{e^{-2x}}{2}-frac{1}{4} e^{-2x}+c=left( -frac{x}{2}-frac{1}{4} ight)e^{2x}+c$$
ou

$$int x{e}^{-2x}dx=-xfrac{e^{-2x}}{2} -frac{1}{4} e^{-2x}+c=-frac{1}{4} e^{-2x}left( 2x+1 ight)+c.$$
14) Usando o método de integração por partes, calcule:
$$int x{e}^{-nx}dx.$$- Achar dv.

Basta fazer

$$dv=e^{-nx}dx.$$
- Achar v.

Integrando ambos os membros da integral

$$int dv=v=int e^{-nx}dx.$$
Trabalhando com o último termo da expressão acima, chamaremos

$$w=-nx ightarrow dw=-ndx ightarrow dx=-frac{dw}{n}.$$
Portanto,

$$int e^{-nx}dx=int e^{w}left( frac{{-dw}}{n} ight)=-frac{1}{n} int e^{w}dw=-frac{1}{n} e^{w}.$$
Substituindo os valores de w no resultado acima, temos que

$$int e^{-nx}dx=-frac{1}{n} e^{w} =-frac{1}{n} e^{-nx}.$$
Logo,

$$v=int e^{-nx}dx=-frac{1}{n} e^{-nx}.$$
- Achar u.

Fazer

u = x.- Achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.
De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

$$int udv=uv-int vdu + c.$$
$$int x{e}^{-nx}dx=x(-frac{1}{n} e^{-nx})-int (-frac{1}{n} e^{-nx})dx+c.$$
Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

$$int (-frac{1}{n} e^{-nx})dx,$$
chamando

$$z=-nx ightarrow dz=-ndx ightarrow dx=-frac{dz}{n}.$$
Portanto,

$$int (-frac{1}{n} e^{-nx})dx=int(-frac{e^{z}}{n})(-frac{dz}{n}) =frac{1}{n^2}int e^{z}dz=frac{1}{n^2} e^{z}.$$
Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

$$int (-frac{1}{n} e^{-nx})dx=frac{1}{n^2} e^{z} =frac{1}{n^2} e^{-nx}.$$
Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

$$int x{e}^{-nx}dx=x(-frac{1}{n} e^{-nx}) -frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-e^{-nx}left( frac{x}{n}+frac{1}{n^2} ight)+c$$
ou

$$int x{e}^{-nx}dx=x(-frac{1}{n} e^{-nx}) - frac{1}{n^2} e^{-nx}+c=-frac{1}{n^2}e^{-nx}left(nx+1 ight)+c.$$
Observação: Podemos usar a fórmula acima, por exemplo,

para n = 1 (já calculado):

$$int x{e}^{-1x}dx=-frac{1}{(-1)^2}e^{-1x}left(1x+1 ight)+c=-e^{-x}(x+1)+c.$$
para n = 2 (já calculado):

$$int x{e}^{-2x}dx=-frac{1}{(-2)^2}e^{-2x}left(2x+1 ight)+c=-frac{1}{4}e^{-2x}left(2x+1 ight)+c.$$
Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.
para n = 3 :

$$int x{e}^{-3x}dx=-frac{1}{(-3)^2}e^{-3x}left(3x+1 ight)+c=-frac{1}{9}e^{-3x}left(3x+1 ight)+c.$$
para n = 10:

$$int x{e}^{-10x}dx=-frac{1}{(-10)^2}e^{-10x}left(10x+1 ight)+c$$

$$=-frac{1}{100}e^{-10x}left(10x+1 ight)+c.$$A maioria das equações dos artigos estão escritas em Latex. Para visualizá-las, use o novegador Firefox. Obrigado.


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